Matematica: alcuni teoremi per la preparazione dell'esame universitario di matematica della facoltà di economia

PREMESSA

INTORNO

Un intorno di un punto x è intuitivamente un insieme di punti "vicini" al punto x. Ogni intorno individua un insieme differente di vicini. Spesso per tradurre in linguaggio matematico l'idea che una proprietà debba essere verificata per punti che sono arbitrariamente vicini a x si dice che vale "per ogni intorno di x".

Es. I_r(x) = (x-r, x+r)

PUNTO INTERNO

Dato A ⊂ R, diciamo che x ε R è un PUNTO INTERNO di A se esiste un intorno I(x) che contiene solo punti di A.

PUNTO ESTERNO

Diciamo che x ε R è un PUNTO ESTERNO di A se esiste un intorno I(x) che non contiene nessun punto di A.

PUNTO DI FRONTIERA

Diciamo che x ε R è PUNTO DI FRONTIERA di A se ogni intorno I(x) contiene sia punti di A che punti non in A.

PUNTI DI ACCUMULAZIONE

I PUNTI DI ACCUMULAZIONE sono quelli interni a quelli di frontiera che non necessariamente appartengono all’insieme A.

TEOREMA BOLZANO-WEIERSTRASS

Un insieme A ⊂ R infinito ( = infiniti punti) e limitato, ha almeno un punto di accumulazione.

CONTINUITA’

DEFINIZIONE: sia f: A ⊂ R à R una funzione, x₀ un punto di accumulazione di A, con x₀ ε A. Dire che f è continua nel punto x₀, se il limite di f in x₀ esiste finito e coincide con il valore f(x₀).

Lim    f(x)=f(x₀)

x-->x₀

Al contrario la funzione è discontinua se:

1)    Il limite non esiste o è finito;

2)    Il limite esiste finito ma non coincide con f(x₀)

TEOREMA: Sia f: A ⊂ R à R una funzione elementare e x₀ punto di accumulazione di A, con x₀ ε A. Allora f e continua in x₀. In altre parole tutte le funzioni elementari sono continue nel proprio dominio.

TEOREMA DI WEIERSTRASS [MASSIMI E MINIMI]

Sia f:A = [a, b] una funzione continua sull’intervallo chiuso e limitato A = [a, b]. Allora esistono due punti x₁, x₂ ε A = [a, b] ( non necessariamente uniti) tali che:

f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂)       per ogni x=1

in altre parole la funzione f assume un minimo assoluto o globale minf(x₁) nel punto x_!, e un massimo assoluto o globale maxf(x₂)nel punto x₂.

Le conclusioni del teorema non sono valide se la funzione f non è continua o se il dominio non è chiuso e limitato.

DERIVABILITA’

lim                          f(x₀ + h) - f(x₀)

h-->0                                 h

RETTA TANGENTE E RETTA SECCANTE

Sia f: A ⊂ R à R una funzione derivabile a x₀ ε A punto interno.

Consideriamo due punti P (x₀, f(x₀) e Q (x₀ + h, f(x₀ + h). La retta tangente al grafico di f in P ha coefficiente angolare tanα e la retta seccante tanβ al grafico di f in Q.

Dove:

tanβ=  f(x₀ + h) - f(x₀)

h

tanα = lim tanβ =      lim tanβ=                f(x₀ + h) - f(x₀)

 h-->0               h-->0                                h

formula retta tangenta

y= f(x₀) + f^I(x₀) * (x – x₀)

formula retta seccante

y= f(x₀) +         f(x₀ + h) - f(x₀) * (x – x₀)

           h

TEOREMA DI ROLLE

In analisi matematica il teorema di Rolle afferma che se una funzione è continua in un intervallo chiuso , derivabile in ogni punto dell'intervallo aperto e assume valori uguali , esiste almeno un punto interno ad la cui derivata si annulla, cioè (Punto critico o stazionario).

Teorema di Rolle: Se f(x) è continua in [a,b], derivabile in ]a,b[ e f(a) = f(b), allora esiste, in questo caso, c appartenente ad ]a,b[ tale che f'(c) = 0.

TEOREMA DI TAYLOR

FORMULA DI TAYLOR

DEFINIZIONE Data una funzione f: A⊂R à R derivabile sul dominio A all’ordine n, definiamo il polinomio di taylor di ordine n centrando nel punto interno come x₀:

n

K=1

p_n(x₀) = f(x₀) +  Σ      f ^(K)(x₀) (x – x₀)^K

                              _____________

                                         K!

                       

ordine 1          p₁x =f(x₀) + f^I(x₀) * (x – x₀)

ordine 2          p₂x =f(x₀) + f^I(x₀) * (x – x₀) + f^II(x₀) * (x – x₀)²

   _____

       2

TEOREMA DI TAYLOR

Sia f: A⊂R à R derivabile fino all’ordine n +1 sul dominio A e x₀ ε A punto interno possiamo scrivere:

f(x) =pn(x) + En(x)                 dove En sta per errore

e l’errore è dato da:

En(x) = f⁽ⁿ⁺¹⁾(t) * (x – x₀)ⁿ⁺¹

              ---------

                  n+1

TEOREMA DI LAGRANGE

Sia f:A = [a;b] à R una funzione continua nell’intervallo aperto (a;b). Allora esiste un punto intermedio c ε (a;b) tale che:

            f^Ic = f(b) – f(a)

b – a

Il coefficiente angolare della retta che passa per (a; f(a) e (b; f(b) è

tanβ = f^Ic =       f(b) – f(a)

       b – a

TEOREMA DI COUCHY

Siano f , g : A= [a;b] à R due funzioni continue in [a;b] e derivabili in (a;b)

Supponiamo che g^I(x)≠ 0        per ogni x ε [a;b]

Allora esiste un punto c ε(a;b) tale che:

f^Ic        =          f(b) – f(a)

g^Ic                   g(b) – g(a)

TEOREMA 

MODELLI DI LEONTEV

MODELLO APERTO

La quantita prodotta xi viene in parte impiegata come input nei settori produttivi

la formula finale è :

(I - A)x = c

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MODELLO CHIUSO

Tutte le quantità prodotte vengono rimpiegate nei vari settori prodotto

la formula finale è :

(A - I) x = 0

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